Efecto Compton

Efecto Compton

 Cuántica







Detalles de la actividad

Antecedentes

En 1905 Einstein había introducido la teoría de la relatividad y el concepto de cuanto de luz, que más adelante comenzaría a deominarse fotón. Algo más adelante sugirió que las ondas electromagnéticas están formadas por fotones que son partículas de luz de la misma forma que los electrones o los neutrones son partículas de materia.

Así, un haz de luz monocromática de longitud de onda $\lambda$ puede verse como una onda clásica o como un conjunto de fotones que viajan en el vacío con una velocidad, $c$ (la velocidad de la luz), y que llevan todos la misma energía, $E_f = h\frac{c}{\lambda}$. Esta idea resultó útil para explicar las interacciones de la luz con las partículas de la materia.

Cantidad de movimiento relativista

Cuando las partículas se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz $c$ es necesario redefinir, en términos relativistas, su cantidad de movimiento:

$$\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \color{blue}\text{     Ecuación 1}$$

Observa que cuando las partículas se mueven a velocidades bajas el término $\frac{v^2}{c^2} \rightarrow 0$ y la ecuación anterior queda reducida a $\vec{p} =m\vec{v}$ que es su forma conocida en la mecánica clásica.

De la misma forma es necesario reformular la segunda Ley de Newton en términos relativistas en el caso de partículas con velocidades cercanas a la velocidad de la luz:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)$$

Consecuentemente con esta definición relativista de fuerza se hace necesario replantear la energía cinética. Así, la energía cinética adquirida por una partícula cuando una fuerza actúa sobre ella e incrementa su velocidad desde el reposo $v_0 = 0$ a un valor $v$ está dada por la expresión:

$$E_c = \int_{v_0=0}^{v}\vec{F}\cdot d\vec{l}$$

La integral anterior conduce a la ecuación:

$$E_c = E_T - mc^2$$

en la que $E_T$ representa la energía total de la partícula y viene dada por la ecuación:

$$E_T = \vec{p} = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \color{blue}\text{     Ecuación 2}$$

Si combinamos las ecuaciones $\color{blue}1$ y $\color{blue}2$ obtenemos la energía total expresada en función de la cantidad de movimiento:

$$E_T^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Observa en la ecuación anterior que cuando una partícula no se encuentre en movimiento y por lo tanto tenga $p=0$, su energía vendrá dada por $mc^2$:

$$E_T = mc^2$$

Igualmente, en el caso de partículas cuya masa en reposo sea nula (como el fotón) su energía está determinada por el termino $pc$: $$E_T = pc$$ lo que implica que, a pesar de no tener masa, tienen asociada una cantidad de movimiento.

Efecto Compton

La comprobación experimental del comportamiento de la radiación como onda y como partícula supuso uno de los capítulos más controvertidos de la Física de principios del siglo XX ya que según la Física Clásica la luz y todas las ondas electromagnéticas presentan un comportamiento estrictamente ondulatorio.

El efecto Compton es el término utilizado para un resultado inusual observado cuando los rayos X se dispersan en algunos materiales. Según la teoría clásica, cuando una onda electromagnética se dispersa de los átomos, se espera que la longitud de onda de la radiación dispersada sea la misma que la de la radiación incidente. En contra de esta predicción de la física clásica, las observaciones muestran que cuando los rayos X se dispersan en algunos materiales, como el grafito, los rayos X dispersados tienen longitudes de onda algo mayores de las de los rayos X incidentes. Este fenómeno clásicamente inexplicable fue estudiado experimentalmente por Arthur H. Compton y sus colaboradores, y Compton dio su explicación en 1923.

Para explicar el desplazamiento de las longitudes de onda medido en el experimento, Compton utilizó la idea de Einstein de la luz como partícula. El efecto Compton ocupa un lugar muy importante en la historia de la física porque demuestra que la radiación electromagnética no puede explicarse como un fenómeno puramente ondulatorio. La explicación del efecto Compton proporcionó un argumento convincente a la comunidad física de que las ondas electromagnéticas pueden comportarse en efecto como una corriente de fotones, lo que situó el concepto de fotón en una base sólida.

Para explicar sus resultados Compton consideró que la onda electromagnética incidentente (rayos X) estaba constituida por cuantos o fotones tal y como había propuesto Einstein en su explicación del efecto fotoeléctrico en la que cada fotón tiene asociada una energía dada por la siguiente expresión: $$E = hf$$ donde $h$ es la constante de Planck (6.626 ·10-34 J·s) y $f$ es la frecuencia de la radiación.

Según Compton, la energía absorbida por el electrón en el impacto se traducía en un fotón dispersado con menor nivel de energía es decir, con menor frecuencia y por ello con mayor longitud de onda.

Según el principio de conservación de la energía debe cumplirse que:

$$E_{\text{antes de la colisión}} = E_{\text{después de la colisión}}$$

Antes del impacto, las energías a considerar son la energía del fotón incidente y la energía del electrón en reposo: $$E_{\text{antes de la colisión}} = p_0c + m_ec^2$$ donde $p_0$ es el momento lineal del fotón incidente y $m_e$ es la masa del electrón y $c$ es la velocidad de la luz.

Tras del impacto las energías del fotón dispersado y el electrón son: $$E_{\text{después de la colisión}} = p_1c + \sqrt{(p_ec)^2 +(m_ec^2)^2}$$ donde $p_1$ es la cantidad de movimiento del fotón dispersado y $p_e$ es la cantidad de movimiento del electrón.

Si igualamos estas dos últimas expresiones tenemos:

$$p_0c + m_ec^2 = p_1c + \sqrt{(p_ec)^2 +(m_ec^2)^2} \color{blue}\text{     Ecuación 3}$$

Imagen activa
Figura 1.

Según el diagrama vectorial de la figura 1 la cantidad de movimiento del electrón después del impacto puede relacionarse con las cantidades de movimiento del fotón antes y después de la colisión mediante la ecuación: $$p_e^2 = p_0^2 + p_1^2 - 2p_0p_1 cos \beta \color{blue}\text{     Ecuación 4}$$ donde $\beta$ es el ángulo de dispersión del fotón, es decir el ángulo que forman $\vec{p_0}$ y $\vec{p_1}$

Si sustituimos la $\color{blue}\text{     Ecuación 4}$ en la $\color{blue}\text{     Ecuación 3}$ obtenemos:

$$\frac{1}{p_1} - \frac{1}{p_0} = \frac{1}{m_ec} (1 - cos \beta)$$

Y si sustituimos $p_1$ por su equivalente $ \frac{h}{\lambda_1}$ y $p_0$ por su equivalente $ \frac{h}{\lambda_0}$ obtenemos la ecuación de Compton:

$$\lambda_1 - \lambda_0 = \frac{h}{m_ec} (1 - cos \beta)$$

El cociente $\frac{h}{m_ec}$ tiene un valor aproximado de 0.00243nm y se conoce como longitud de onda Compton ($\lambda_c$), por lo que podemos expresar la ecuación de Compton de esta forma equivalente:

$$\lambda_1 = \lambda_0 + \lambda_c (1 - cos \beta) $$

De la ecuación de Compton deducimos que el aumento de longitud de onda que experimenta la radiación dispersada depende únicamente del ángulo de dispersión.

Es importante destacar que en este modelo los fotones de rayos X colisionan con electrones libres o electrones que están ligados mediante una energía menor a la energía transferida por los fotones de rayos X durante la colisión.

La concordancia entre los resultados experimentales y los obtenidos a partir de la Ecuación de Compton confirman de manera sólida la validez del concepto de fotón y el carácter corpuscular de una onda electromagnética.

Instrucciones

Cuando un fotón choca contra un electrón, el fotón dispersado tiene una longitud de onda mayor que el incidente. El efecto Compton pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la luz.

  • Selecciona la longitud de onda del fotón incidente y pulsa Play
  • Mueve el detector para fijar el ángulo de dispersión que desees
  • Mueve el vector $\vec{p_0}$ para ajustar la visualización

Fecha de publicación: 25-03-2024

Categoría: Cuántica

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